Численные методы

Целью решения многих практических задач является получение конкретного результата в виде числа. Это возможно, если задача сформулирована на языке математики. Часто решение задачи в общем виде невозможно, поэтому разрабатывались методы, позволяющие найти конкретное решение, применимое на практике. Многие из этих методов были названы именами своих великих создателей - Эйлера, Ньютона, Гаусса.
Использование математических моделей позволяет формально описать наиболее существенные связи между переменными, определяющими явление или процесс. Количество этих переменных и связей и детальность их описания определяется как желаемой степенью адекватности модели, так и возможностями разработчика и пользователя. Поэтому любая математическая модель упрощенно описывает процесс, то есть является неполной. Так, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на товар зависит от цены и уровня доходов потребителя.
Итак, модель – это упрощенное описание (или непосредственное создание) некоторого подобия исследуемого объекта, выявляющего только существенные для потсавленной задачи черты. Если это описание производится на формальном языке математики, то модель является математической. Облик модели определяется целью ее создания. Эти цели могут быть следующими.

1. Непосредственное использование модели (например, игрушка, манекен, модель самолета).
2. Описание объекта - выявление закономерностей, статистика, прогнозирование, идентификация и т.д.
3. Управление объектом – получение требуемых характеристик на выходе модели путем подачи нужных сигналов на ее вход.
4. Создание (проектирование) объекта.
5. Принятие решений.

Кроме того, применение математического моделирование в одной области позволяет использовать достижения математики, полученные в другой области науки.
При создании модели получаются уравнения, для которых уже разработаны методы решения, можно их использовать, абстрагируясь от смысла модели. Это свойство математических моделей является очень удобным. Уже накоплен большой опыт решения задач в области, например, технических наук, разработано и отлажено соответствующее математическое обеспечение. И все это богатство может быть использовано при решении экономических задач, описываемых усложняющимися математическими моделями.
Следует отметить, что математическое моделирование – это не только введение переменных и написание математических соотношений. Это достаточно сложный процесс, возможно, многократно повторяющийся, требующий учета множества факторов, относящихся не только к самой модели
Классическим средством изучения математических моделей и исследования на этой основе реальных процессов и явлений служат аналитические методы, позволяющие получить точные решения в виде математических формул. Они позволяют решить задачу в общем виде и получить полную информацию о поведении объекта. Однако, класс задач, для которых они могут быть использованы, весьма ограничен. Во-первых, далеко не всегда полученная математическая модель содержит функции, удовлетворяющие требованиям непрерывности, достаточной гладкости и т.п., без выполнения которых аналитического решения можно не получить. Во-вторых, не все задачи имеют решение. В-третьих, не все исходные данные могут быть представлены в виде аналитического выражения. Кроме того, при решении практических задач далеко не всегда необходимо искать общее решение или все возможные решения. Во всех таких случаях применяются численные методы. Наука, изучающая численные методы, называется численным анализом, или вычислительной математикой.

Численные методы, в отличие от аналитических, позволяют получить не общее, а частное решение задачи, либо решить задачу не в бесконечномерном, а в некотором конечномерном пространстве. При этом необходимо выполнить достаточно большое количество арифметических и логических операций, используя большие массивы данных. Получив решение, требуется оценить, насколько оно адекватно поставленной задаче, какова область его применимости. Все это выполняется с помощью математического обеспечения, разрабатываемого для компьютеров. Изучение численных методов необходимо современному специалисту как для разработки новых алгоритмов, так и для выбора из множества существующих наиболее подходящего.

Полезные ссылки

1. Численные методы
2. Численные методы решения уравнений в частных производных - курс лекций на Intuit'е

Курсы

• Алгоритмические языки программирования

• Высокопроизводительные вычисления

• Дискретная математика

• Объектно-ориентированное программирование

• Технологии разработки программных систем

Технологии

• ASP.NET

• Язык F

Продукты

• Visual Studio